カリウム40による内部被曝:放射能編

こちらで放射線の事をまとめてみましたが,自然被曝の事例は端折りました。

ま,かえってややこしくなりますので,ここで詳しく掘り下げてみます。題して

^{40}Kによる内部被曝・・・恐ろしい題名ですが・・・

実はこの内部被曝,みんなの体で起こっている放射線被曝の事になります。

自然界に存在するカリウム:K(原子番号19)には^{39}Kの同位体^{40}K^{41}Kが存在します。この^{40}Kが放射性同位体と呼ばれる放射性物質で,その存在率は0.0117%

当然,食物には必ずカリウムが存在し,人間にも無くてはならないミネラル要素です。

さて,人体の構成要素としてカリウムがどれだけ含まれるかというと0.2^{wt}%だそうです。ですから,60kgの人間を対象にして考えると

60\times{}1000\times{}0.2/100=120[g]

だけカリウムが含まれており,その内^{40}Kはと言うと

120\times{}0.0117/100=0.01404[g]

となります。これで人体内に含まれる^{40}Kの量が判りました。

さて,ここからちょっとというかかなり難解な計算が必要になります。上手く説明できますかどうか・・・ネットを駆使ししてまとめてみます。

まず,放射能の量の定義によると

1Bq:ベクレルとは1秒間に1つの原子核が崩壊して放射線を放つ放射能の量

でした。そう,^{40}Kの原子核の数を求めなければならないのです。

1モルの物質に含まれる構成要素の総数をアボガドロ数と言いましたが,今はアボガドロ定数と言うらしいですね。

アボガドロ定数=6.02214179\times{}10^{23}[mol^{-1}]

これで放射性核種:^{40}Kの原子核数が求まります。

0.01404/40\times{}6.02214179\times{}10^{23}=2.113771\times{}10^{20}

ここで,

毎秒ごとに原子核が自然崩壊する確率は,放射性核種の半減期に反比例する

のだそうです。ですから,^{40}Kの半減期が判れば崩壊する原子核数:Bqが判りそうです。やってみましょう・・・

^{40}Kの半減期:1.277\times{}10^9年  より,

単位を秒に換算すると・・・約4.027\times{}10^{16}秒となります。

ところで半減期の意味ですが,これはあくまでも確率的な話。

残存する原子核数:Nと時間:t\,の間には次の関係があると言います。

\frac{dN}{dt}=-\lambda{}N\hspace{50}\lambda は核種固有の定数

この微分方程式を解くと・・・確か・・・Nはゼロで無いとして・・・

\frac{dN}{N}=-\lambda{}dt

積分して

\int\frac{dN}{N}=-\lambda\int{}dt

\Rightarrow\hspace{2}\ln{N}=-\lambda{}t+C

\Rightarrow\hspace{2}N=N_0{}\cdot{}\exp(-\lambda{}t)・・・N_0t=0の時のNの値

ここで,放射性核種がちょうど半分になる時期が半減期だったことを思い出して,

N=N_0/2\,,\,t=T_{1/2} と置くとN\,,\,N_0 は消えて

\frac{1}{2}=\exp(-\lambda{}T_{1/2})

これの対数を取って

log_e(\frac{1}{2})=-\ln{2}=-\lambda{}T_{1/2}

∴     \lambda=\frac{\ln{2}}{T_{1/2}}

ln{2}=0.693\,,\,T_{1/2}=4.027\times{}10^{16}だった事を思い出して

\lambda=1.721\times{}10^{-17}

よって,崩壊する原子核数は

\lambda{}N=1.721\times{}10^{-17}\times{}2.113771\times{}10^{20}=3638

となり,約3600Bqと言う事に。この数値を大きいとみるか少ないとみるか。

これだけの放射能が人体内に常時存在するという事です。もう一度,

体重60kgの人体には\red{^{40}K}だけで約\red{3600Bq}の放射能が存在する

その他,^{14}Cでも約2500Bqの放射能が存在しますので,人体は他の放射性物質も含めると約6000-7000Bqの放射能から内部被曝しているのだそうです。